Tip:
Highlight text to annotate it
X
En aquest vídeo vull que us familiaritzeu amb la idea de límit, una idea molt important.
Realment, és la idea sobre la qual es fonamenta el càlcul.
Però tot i ser tan important, en realitat és una idea veritablement senzilla.
Així que deixeu-me dibuixar una funció aquí - bé, deixeu-me definir una funció
aquí. Una funció senzilla. O sigui, definim f(x), diguem que f(x) és (x-1)/(x-1).
I vosaltres podrieu dir: "Ei Sal, mira, tenim el mateix al numerador que al denominador!
Si tenim una expressió dividida per ella mateixa, això és igual a un! No podem simplificar l'expressió a f(x)=1?"
I jo respondria: "Bé, tens quasi raó, la diferència entre f(x)=1 i això que tenim a la dreta
és que aquesta expressió no està definida en x=1." Així, si et preguntes - deixeu-m'ho escriure aquí - què passa si
volem trobar f(1)? En el numerador, tenim (1-1), que és... Deixeu-me escriure-ho...
en el numerador tenim un 0, i en el denominador tenim (1-1), que també és 0. I per tant, qualsevol cosa dividida
per 0, incloent 0/0, és indefinida. Així que podeu fer la simplificació - podeu dir que això és
el mateix que f(x)=1, però haureu d'afegir la restricció que x no pot ser igual a 1. Ara això
i això són equivalents. Les dues expressions seran 1, per tots els valors de x diferents de 1. Però
en x=1, sorgeix una indefinició. Això és indefinit i això no està definit. Com podríem representar aquesta funció?
Deixeu-me fer el dibuix... Aquest és el meu eix y=f(x) i aquest d'aquí és el meu eix x, i aleshores diem
que aquest és el punt x=1, aquest d'aquí seria x=-1, aquest és y=1, aquí dalt podríem posar -1 però això
no és gaire important per la nostra funció, i deixeu-me dibuixar-la. Essencialment per
qualsevol x diferent de 1, f(x)=1. Així que tindrà aquesta pinta... excepte en 1. En el punt 1, f(x) és indefinida, així que
deixaré un petit forat aquí, aquesta rodoneta, que significa que aquesta funció
no està definida - no sabem quant val aquesta funció en x=1, mai ho hem definit.
Aquesta definició de la funció no ens diu què fer en 1 - és literalment indefinida quan x=1.
Així que aquesta és la funció f(x), i altre cop, si algú ens demana quant val f(1), anirem...
diguem, bé, aquesta era la definició de la nostra funció, anirem a x=1. Oh, espera! Hi ha un forat a la nostra funció
aquí, és indefinida. O sigui que deixeu-m'ho escriure altra vegada... bé, és una mica redundant, però ho reescriuré.
f(1) és indefinit. Però què passa si us demanen quant val la funció quan ens acostem
a x=1? Ara, això comença a tocar la idea de límit. Quan x s'acosta més i més a 1...
a quin valor de la funció ens aproximem? Bé, tota l'estona, a quin valor ens acostem?
Per l'esquerra, independentment de com d'aprop estiguem de 1, f(x)=1 sempre que no estiguem a 1.
Aquí, per la banda dreta, tenim el mateix. Així que podríem dir - i us anireu
familiaritzant més i més amb aquesta idea veient més exemples - que el límit quan
x (escrivim lim per abreujar límit) - quan x s'acosta a 1 de f(x) és igual a...
Com més ens acostem podem arribar increïblement, infinitament propers a 1, sempre que no arribem a 1...
I la nostra funció serà 1, ens acostem més i més a 1,
realment sempre val 1. Així que en aquest cas, podem dir que el límit quan x s'acosta a 1 de f(x)
és 1. Altra vegada, amb notació elegant, només estem dient "Mira, a quin valor s'acosta la funció
quan x s'acosta més i més a 1?"
Deixeu-me fer un altre exemple on treballem amb una corba, perquè tingueu la idea general.
Diguem que tenim una funció f(x) - deixeu-me, només per fer èmfasi en la varietat, que l'anomeni g(x).
Diguem que tenim g(x) igual a - podem definir-ho així, com x²
quan x és diferent de 2, i diguem que quan x=2 és igual a 1. Així, altra vegada, tenim una funció
interessant que - com veureu - no és completament contínua. Té una discontinuïtat. Deixeu-me dibuixar-la.
Aquest és el meu eix y=f(x), aquest d'aquí el meu eix x. Diguem que això és x=1, això x=2,
això -1, això -2... Així, a tot arreu excepte en x=2, la funció és x². Així que deixeu-me dibuixar-ho així,
això serà una paràbola, que té una pinta així... més o menys...
Deixeu-me dibuixar una versió millorada de la paràbola. Tindrà aquesta pinta, no és la paràbola més
bella de la història del dibuix de paràboles, però crec que us dóna una idea de quina pinta té
una paràbola, espero. Hauria de ser simètrica... Deixeu-me tornar-la a dibuixar, perquè això és horrorós.
Això té més bona pinta, perfecte, aquí ho tenim. Bé.
Ara, això seria la gràfica de x², però g(x) no és x² quan x=2. Per tant, altre cop, quan x=2,
hauríem de tenir una discontinuïtat aquí, així que dibuixaré un forat just aquí,
perquè quan x=2, la funció val 1.
No els estic fent a la mateixa escala... A la gràfica de f(x)=x² això valdria 4, això serà 2,
això serà 1, això seria 3. Així que en x=2 la nostra funció val 1.
Per tant aquesta funció és un pèl estranya, però podem definir-la així, podem definir una funció com vulguem
definir-la! Així, fixeu-vos, que és igual que la gràfica de f(x)=x² excepte quan arribem al 2,
on hi ha aquest forat, perquè no utilitzem "g(x)=x² quan x=2" sinó "g(x)=1".
Si he estat dient f(x), demano perdó.
Utilitzem g(x)=1, així exactament en x=2, baixa a 1, i després segueix per x².
Aquí hi ha un parell de cosetes. Si només volguéssim avaluar la funció - g(2),
bé mirem a la definició. Bé, quan x=2, utilitzem aquesta situació d'aquí,
i ens diu que valdrà 1. Deixeu-me formular una pregunta més interessant, o potser més
interessant. Quant val el límit quan x s'acosta a 2 de g(x)? Altra vegada, notació elegant, però
està preguntant quelcom molt simple. Ens diu "quan x s'acosta més i més a 2..."
quan ens hi acostem més i més - i això no és una definició rigorosa, això ho farem en vídeos més endavant -
quan x s'acosta més i més a 2, a què s'acosta g(x)? O sigui, si tenim 1.9, i aleshores 1.999, i aleshores 1.999999
i aleshores 1.9999999, a què s'acosta g(x)? Si volem venir des de la banda positiva,
per exemple 2.1, quant val g(2.1)? Què és g(2.01)? Què és g(2.001)?
A què s'acosta quan ens hi acostem més i més?
I ho podeu veure visualment només dibuixant la gràfica. Quan x s'acosta més i més a 2...
Si seguim la gràfica, veiem que ens acostem a 4,
encara que aquest no és el valor de la funció - la funció baixa a prendre el valor 1 - el límit de g(x) quan
x s'acosta a 2 és igual a 4. Podeu fer això numèricament utilitzant una calculadora.
Deixeu-m'ho fer, perquè crec que serà interessant. Deixeu-me treure una calculadora...
Deixeu-me treure la meva TI-85... Aquí tinc la meva calculadora... I podeu dir numèricament,
d'acord, a què s'acosta quan ens acostem a x=2? Provem 1.9, utilitzarem aquesta definició.
Així tindrem 1.9², i obtindrem 3.61.
Bé, què passa si ens acostem més a 2? Per exemple 1.99, i de nou ho elevem al quadrat,
ja tenim 3.96. Què passa si fem 1.999 i ho elevem al quadrat?
Obtenim 3.996. Fixeu-vos que ens acostem més i més al nostre punt.
Si ens acostem realment molt - 1.999999999999²? Què obtenim? No serà exactament 4 -
aquesta calculadora ha arrodonit - perquè obtenim un nombre molt molt molt
proper a 4. I podem fer el mateix per la direcció positiva, també, i realment
s'ha d'obtenir el mateix número, el mateix límit,
i per sobre del que estem intentant aproximar-nos. Si provem 2.1², obtenim 4.4...
Deixeu-me saltar un parell de passos...
2.0001². Això és molt més proper a 2, ara. I així ens acostem més a 4.
Com més propers a 2, més propers sembla que estem de 4.
Per tant, aquest és un mètode numèric de veure que el límit quan x s'acosta a 2 des de qualsevol direcció
de g(x) - encara que en 2, la funció valgui 1, perquè és discontínua -
en el límit quan ens acostem a 2, s'acosta més i més i més a 4.